Леонид Бичевин родился 27 декабря 1984 года в Климовске. После 9-го класса школы пошёл в сельскохозяйственное училище Коломны, но через два года бросил его, решив стать актёром. Поступил в Театральное училище имени Щукина на курс Юрия Шлыкова. В 2006 году сразу после получения диплома принят в труппу Театра имени Вахтангова. На сцене театра Бичевин играет Троила в спектакле Римаса Туминаса «Троил и Крессида» по трагедии Уильяма Шекспира. Первую заметную роль в кино Леонид Бичевин сыграл в скандальной картине Алексея Балабанова «Груз 200» (2007). На съёмочной площадке этого фильма молодой актёр оказался благодаря рекомендации Агнии Кузнецовой, с которой вместе учился в Щукинском училище . В следующем фильме Балабанова «Морфий» (2008) Бичевин получил уже главную роль. В картине, поставленной по ранней прозе Михаила Булгакова, его герой — молодой врач-морфинист, работающий в деревенской больнице. Балабанов остался доволен сотрудничеством с актёром. В одном из своих интервью режиссёр высказал мнение, что Леонид Бичевин «будет звездой» .29 июля 2011 года женился на актрисе Марии Бердинских
